Question

（2012•合肥一模）函數(shù)f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）對?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．減區(qū)間與增區(qū)間的分界點(diǎn)為極值點(diǎn)，且當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，為極大值，當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，為極小值．
（2）由條件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等價(jià)于

lnx

x

的最大值＜a，令h（x）=

lnx

x

（x＞0），用導(dǎo)數(shù)求出

lnx

x

-x的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

，令f′（x）=0，得x=

1

2

，如下表

∴f（x）在（0，

1

2

）上是增函數(shù)，在（

1

2

，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）極大值=f（

1

2

）=-ln2-1，無極小值．
（2）由條件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等價(jià)于

lnx

x

的最大值＜a，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′（x）=

1-lnx

x2

，
則當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，又當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以a＞

1

e

．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．