Question

【題目】如圖（1），在平面四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線，垂足為E，AB中點為F，，，，沿BD將折起，使C至位置，如圖（2）.

（1）求證：；

（2）當平面平面ABD時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）折疊過程中，保持不變，又由線面垂直，從而得證線線垂直。

（2）由兩平面垂直可得兩兩垂直，以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由線面角的向量法求解。

（1）∵，

∴平面，而平面，

∴。

（2）由（1）知是二面角的平面角，

又平面平面ABD，∴，即，

分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，

在四邊形中，∵，∴，，，

∴，是中點，∴

，，，

設平面的法向量為，則

，即，則，，

，

∴直線與平面所成角的正弦值為。