【題目】設函數
有兩個極值點
，
，且
．
（
）求
的取值范圍，并討論
的單調性．
（
）證明：
．
【答案】(1)見解析；（2）見解析.
【解析】試題分析 : （1）先確定函數的定義域然后求導數
，由題意知
，
是方程
的兩個均大于-1的不相等的實根，建立不等關系解之即可，在函數的定義域內解不等式
和
，求出單調區間；
（2）是方程
的根，將
用表示，消去得到關于的函數，研究函數的單調性求出函數的最大值，即可證得不等式．
試題解析 :
（
）由題意知，函數
的定義域是
，
，
且有兩個不同的實數根，，故的判別式
，即
，且
，
，①
又
，故
．因此的取值范圍是
．
當
變化時與的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 極大值 |
| 極小值 |
|
因此在區間
和
是增函數，在
上是減函數．
（
）由題意和①知，
，
，
于是
．
設函數
，則
．
當
時，
，
當
時，
，故
在
上是增函數．
于是，當，
．因此
.
寒假大串聯黃山書社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線y=x+b與函數f(x)=ln x的圖象交于兩個不同的點A,B,其橫坐標分別為x1,x2,且x1<x2.
(1)求b的取值范圍;
(2)當x2≥2時,證明x1·
<2.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
【答案】（I）
；（II）
【解析】試題分析：（1）根據題意可得
， 
故斜率為
，由直線
與直線
垂直，可得
，因為點
是線段
的中點，∴點
的坐標是
，
代入直線得
，連立方程即可得
， 
；（2）∵四邊形
為平行四邊形，∴
，設
， 
， 
，∴
，得
，將
點坐標代入橢圓
方程得
，
點
到直線
的距離為
，利用弦長公式得EF，則平行四邊形
的面積為
.
解析：（1）由題意知，橢圓
的左頂點
，上頂點
，直線
的斜率
，
得
，
因為點
是線段
的中點，∴點
的坐標是
，
由點
在直線
上，∴
，且
，
解得
， 
，
∴橢圓
的方程為
.
（2）設
， 
， 
，
將
代入
消去
并整理得
，
則
， 
，
，
∵四邊形
為平行四邊形，∴
，
得
，將
點坐標代入橢圓
方程得
，
點
到直線
的距離為
， 
，
∴平行四邊形
的面積為
.
故平行四邊形
的面積
為定值
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）當
時，求證：函數
有兩個不相等的零點
， 
，且
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程是
，以極點為原點，極軸為
軸正方向建立平面直角坐標系，曲線
的直角坐標方程是
（
為參數）．
（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）求曲線與曲線交點的極坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
上的兩個點，點
的坐標為
，直線
的斜率為
.設拋物線
的焦點在直線的下方.
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且
，過
兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為
. 判斷四邊形
是否為梯形，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線
的極坐標方程為
，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線相交于
兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)若
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊.
學生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳遠（單位：米） | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳繩（單位：次） | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a1 | b | 65 |
在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則
（A）2號學生進入30秒跳繩決賽
（B）5號學生進入30秒跳繩決賽
（C）8號學生進入30秒跳繩決賽
（D）9號學生進入30秒跳繩決賽
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