Question

19．設f'（x）是函數f（x）的導數，f''（x）是函數f'（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數f（x）的拐點．某同學經過探究發現：任何一個三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有拐點，任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，
設函數g（x）=x³-3x²+4x+2，利用上述探究結果
計算：$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=76．

Answer 1

分析 根據函數g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數g（x）的對稱中心．由于函數的對稱中心為（1，4），可知g（x）+f（2-x）=8，由此能夠求出所給的式子的值．

解答 解：由g（x）=x³-3x²+4x+2，
得：g′（x）=3x²-6x+4，g″（x）=6x-6，
令g″（x）=0，解得：x=1，
∴函數g（x）的對稱中心是（1，4），
∴g（2-x）+g（x）=8，
故設$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=m，
則g（$\frac{19}{10}$）+g（$\frac{18}{10}$）+g（$\frac{17}{10}$）+…+g（$\frac{1}{10}$）=m，
兩式相加得：8×19=2m，解得：m=76，
故答案為：76．

點評 本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于中檔題．