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已知實數x,y∈(0,
π
2
),且tanx=3tany,則x-y的最大值是
π
6
π
6
分析:先用兩角差的正切公式和條件,求出tan(x-y)的表達式,然后再由已知代換,利用均值不等式求得tan(x-y)的最大值,再已知的條件求出x-y的范圍從而得到結果.
解答:解:∵x,y∈(0,
π
2
),∴tanx=3tany>0,
∴tan(x-y)=
tanx-tany
1+tanx•tany
=
2tany
1+3tan2y
=
2
1
tany
+3tany
,
1
tany
+3tany
≥2
3
,當且僅當
1
tany
=3tany
時取等號,即tany=
3
3
,
∴tan(x-y)=
2
1
tany
+3tany
3
3
,即tan(x-y)的最大值為
3
3
,
∵x,y∈(0,
π
2
),∴-
π
2
<x-y<
π
2
,則x-y最大值為
π
6

故答案為:
π
6
點評:本題主要考查兩角和與差的正切函數,基本不等式的應用,注意角的范圍,考查計算能力,屬于中檔題.
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,且Z=x+y,則Z的取值范圍是
[-1,4]
[-1,4]

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