Question

函數f(x)=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）的定義域為[-2，1]，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）的定義域為R，只需（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0在R上恒成立，然后討論二次項系數可求出所求；
（2）根據f（x）的定義域為[-2，1]可知（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0的解集為[-2，1]，則（1-a²）x²+3（1-a）x+6=0的兩個根為-2，1，然后利用根與系數的關系解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，
∴（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0在R上恒成立
當a=1時，6≥0恒成立
當a=-1時，6x+6≥0在R上不恒成立，故舍去
當a≠±1時，

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2) ≤0

解得：-

5

11

≤a＜1
綜上所述：-

5

11

≤a≤1
（2）∵f（x）的定義域為[-2，1]，
∴（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0的解集為[-2，1]，
即（1-a²）x²+3（1-a）x+6=0的兩個根為-2，1
∴

-2+1=- 3(1-a) 1-a2 -2×1= 6 1-a2

解得a=2
故a的值為2．

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數的關系和恒成立問題，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．