Question

在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數f（x）=xlnx-x的圖象上的動點，該曲線在點P處的切線l交y軸于點M（0，y_M），過點P作l的垂線交y軸于點N（0，y_N）．則

yN

yM

的范圍是（　　）

• A、（-∞，-1]∪[3，+∞）
• B、（-∞，-3]∪[1，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（-∞，-3]

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：設出P的坐標，求導函數，可得曲線在點P處的切線l的方程，過點P作l的垂線的方程，令x-0，可得y_M=-a，y_N=alna-a+

a

lna

，進而可求

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，利用基本不等式，即可求出

yN

yM

的范圍．

解答：解：設P（a，alna-a），則
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲線在點P處的切線l的方程為y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
過點P作l的垂線的方程為y-alna+a=-

1

lna

（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+

a

lna

，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，
∵lna+

1

lna

≥2或lna+

1

lna

≤-2，
∴-（lna+

1

lna

）≤-2或-（lna+

1

lna

）≥2，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

的范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故選A．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．