Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

5

3

，定點M（2，0）橢圓短軸的端點是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P（

9

2

，0），設過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，求證：PM是∠APB的平分線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓離心率計算公式可得 

5

9

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，解得

b

a

=

2

3

．依題意△MB₁B₂是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．即可．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．將直線AB的方程與橢圓C的方程聯立，得到根與系數的關系，代入并證明k_PA+k_PB=0，即可．

解答：（Ⅰ）解：由 

5

9

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，得

b2

a2

=

4

9

，即

b

a

=

2

3

．
依題意△MB₁B₂是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．
所以橢圓C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯立，
消去x得（4m²+9）y²+16my-20=0．
所以 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

．（*）
所以k_PA+k_PB=

y1

x1- 9 2

+

y2

x2- 9 2

=

y1(my2- 5 2 )+y2(my1- 5 2 )

(my1- 5 2 )(my1- 5 2 )

=

2my1y2- 5 2 (y1+y2)

m2y1y2- 5 2 m(y1+y2)+ 25 4

．
將 （*）代入上式得，k_PA+k_PB=0，
則直線PA，PB的傾斜角互補，從而使PM是∠APB的平分線．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、PM是∠APB的平分線?k_PA+k_PB=0等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．