Question

已知、滿足，，且、的夾角為60°，設向量與向量的夾角為θ（t∈R）．
（1）若θ=90°，求實數t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義可得=1，當θ=90°時，根據（）•（）=0求出t的值．
（2）若θ∈（90°，180°），則有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即  2t²+15t+7＜0，且 ，由此求得實數t的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得 =2×1×cos60°=1，當θ=90°時，（）⊥（），
∴（）•（）=2t+（2t²+7）+7t=8t+（2t²+7）+7t=2t²+15t+7=0，
解得 t=-，或t=-7．
（2）若θ∈（90°，180°），則有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1． 
∵||==，
||==，
而cosθ==＜0，
且≠-k•（）
∴2t²+15t+7＜0，且 ．
解得  且t=±，
故實數t的取值范圍為{t|，且 }．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，兩個向量的夾角公式的應用，注意排除兩個向量的夾角等于180°的情況，這是解題的易錯點，屬于中檔題．