Question

在△ABC中，已知

BA

•

BC

=-6，且△ABC的面積滿足

3

≤S≤3．
（1）求∠B的取值范圍；  
（2）

p

=（sinA，cosA），

q

=（cosC，sinC），求|2

p

-3

q

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量數量積運算化簡已知等式表示出ac，再利用三角形面積公式化簡已知不等式，將ac代入變形求出tanB的范圍，由B為三角形內角，利用正切函數圖象與性質即可求出B的范圍；
（2）根據兩向量的坐標，表示出|2

p

-3

q

|²，利用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用誘導公式變形，根據B的范圍求出sinB的范圍，即可確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）∵

BA

•

BC

=accosB=-6，即ac=

-6

cosB

，
∴S=

1

2

acsinB=

-3sinB

cosB

=-3tanB，即

3

≤-3tanB≤3，
∴-1≤tanB≤-

3

3

，
∵B為三角形內角，
∴

3π

4

≤B≤

5π

6

；
（2）∵

p

=（sinA，cosA），

q

=（cosC，sinC），
∴2

p

-3

q

=（2sinA-3cosC，2cosA-3sinC），
∴|2

p

-3

q

|²=（2sinA-3cosC）²+（2cosA-3sinC）²=4+9-12（sinAcosC+cosAsinC）=13-12sin（A+C）=13-12sinB，
∵

3π

4

≤B≤

5π

6

，∴

2

2

≤sinB≤

3

2

，即13-6

3

≤13-12sinB≤13-6

2

，
則|2

p

-3

q

|的取值范圍為[

13-6 3

，

13-6 2

]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，向量的模，平面向量的數量積運算，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．