Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直線l： （t為參數，0≤α＜π）．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）若直線l與曲線C相切，求直線l的傾斜角及切點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，

∴曲線C是以C（2，0）為圓心，以r= 為半徑的圓，

∴曲線C的參數方程為

（2）解：∵直線l： （t為參數，0≤α＜π）．

∴消去參數t，得直線l的直角坐標方程為：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．

∵直線l與曲線C相切，∴圓心C（2，0）到直線l的距離d等于圓半徑r，

即d= =2cosα= ，∴cos ，

∵0≤α＜π，∴直線l的傾斜角α= ，

∴直線l的方程為 x﹣y﹣4 =0，

聯立 ，得x= ，y=﹣ ，

∴切點坐標為（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由曲線C的極坐標方程，求出曲線C的直角坐標方程，得到曲線C是以C（2，0）為圓心，以r= 為半徑的圓，由此能求出曲線C的參數方程．（2）直線l消去參數t，得直線l的直角坐標方程為：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．由直線l與曲線C相切，知圓心C（2，0）到直線l的距離d等于圓半徑r，由此能求出結果．