Question

已知函數f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ，設△ABC的最小內角為A，滿足f（A）=2

3

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若BC邊上的中線長為3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的余弦函數公式化簡函數f（θ）解析式的第一項，再利用誘導公式化簡，整理后根據兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由A為三角形的最小角，得到A的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數即可；
（II）根據題意畫出相應的圖形，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，CE，根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到ABEC為平行四邊形，可得出對邊AC與BE平行，根據兩直線平行同旁內角互補可得出∠ABE與∠BAC互補，由∠BAC的度數表示出∠ABE的度數，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，將AE及表示出的∠ABE的度數代入，整理后再利用基本不等式變形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將∠BAC的度數及bc的最大值代入即可求出面積的最大值．

解答：解：（I）f（θ）=2

3

sin²（

π

4

+θ）-cos2θ=

3

[1-cos（

π

2

+2θ）]-cos2θ
=

3

-

3

cos（

π

2

+2θ）-cos2θ=

3

sin2θ-cos2θ+

3

=2sin（2θ-

π

6

）+

3

，（4分）
∵A為△ABC的最小內角，∴A∈（0，

π

3

]，
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]，
又f（A）=2sin（2A-

π

6

）+

3

=2

3

，
∴sin（2A-

π

6

）=

3

2

，
則A=

π

4

；（7分）
（II）根據題意畫出圖形，如圖所示：

延長AD到點E，使DE=AD=3，又AD為中線，可得BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=

π

4

，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=

3π

4

，
在△ABE中，根據余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+

2

bc，
又b²+c²≥2bc，當且僅當b=c時取等號，
∴bc≤

36

2+ 2

=18（2-

2

），（11分）
S_△ABC=

1

2

bcsin∠BAC=

2

4

bc≤9

2

-9，
則△ABC面積的最大值為9

2

-9．（14分）

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數公式，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，平行四邊形的判定與性質，平行線的性質，基本不等式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．