Question

已知函數f（x）=2+log₃x，定義域為[

1

81

，81]，求函數g（x）=[f（x）]²-f（x²）的最值，并指出g（x）取得最值時相應自變量x的取值．

Answer 1

分析：先求函數g（x）=[f（x）]²-f（x²）的定義域，將f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化簡為關于log₃x的函數，利用換元法求最值．

解答：解：要使函數有意義，必須

1

81

≤x≤81且

1

81

≤x²≤81，解得

1

9

≤x≤9
又y=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x）²+2log₃x+2
令t=log₃x，y=t²+2t+2=（t+1）²+1，由

1

9

≤x≤9得-2≤t≤2，
當t=-1時，即x=

1

3

時，y_min=1，當t=2時，即x=9時，y_max=10，

點評：此題是個中檔題．本題考查換元法求函數的值域問題，以及對數函數的單調性與特點，在使用換元法時，注意范圍．