Question

（2013•西城區二模）已知函數f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[2，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數解析時候，求出f（1）及f^′（1），利用直線方程的點斜式求切線方程；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，判斷出原函數在各區間段內的單調性，然后根據a的范圍分析原函數在區間[2，3]上的單調性，利用函數單調性求出在a的不同取值范圍內函數f（x）在區間[2，3]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，且 f'（x）=2x²-4x+2-a．
當a=2時，f(1)=

2

3

-2+1=-

1

3

，f'（1）=2-4=-2，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 y+

1

3

=-2(x-1)，
即 6x+3y-5=0．
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判別式△=8a＞0，
令 f'（x）=0，得 x1=1-

2a

2

，或x2=1+

2a

2

．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的單調增區間為(-∞， 1-

2a

2

)，(1+

2a

2

，+∞ )；單調減區間為(1-

2a

2

，1+

2a

2

)．
①當0＜a≤2時，x₂≤2，此時f（x）在區間（2，3）上單調遞增，
所以f（x）在區間[2，3]上的最小值是f(2)=

2

3

×23-2×22+(2-a)×2+1=

7

3

-2a．
②當2＜a＜8時，x₁＜2＜x₂＜3，此時f（x）在區間（2，x₂）上單調遞減，在區間（x₂，3）上單調遞增，
所以f（x）在區間[2，3]上的最小值是f(x2)=

2

3

×(1+

2a

2

)3-2×(1+

2a

2

)2+(2-a)(1+

2a

2

)+1=

5

3

-a-

a 2a

3

．
③當a≥8時，x₁＜2＜3≤x₂，此時f（x）在區間（2，3）上單調遞減，
所以f（x）在區間[2，3]上的最小值是f（3）=

2

3

×33-2×32+(2-a)×3+1=7-3a．
綜上，當0＜a≤2時，f（x）在區間[2，3]上的最小值是

7

3

-2a；
當2＜a＜8時，f（x）在區間[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

；
當a≥8時，f（x）在區間[2，3]上的最小值是7-3a．

點評：本題考查了利用導數研究曲線在某點處的切線方程，考查了利用導數判斷函數的單調性，訓練了利用函數單調性求函數的最值，解答此題的關鍵是對參數a的分類，考查了分類討論的數學思想，是中檔題．