Question

已知橢圓

x2

α 2

+

y 2

α2-1

=1(a＞1)的左右焦點為F₁，F₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M，直線F₁M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M的坐標；
（Ⅱ）過F₂作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE，設弦AB、DE的中點分別為F、N，求證直線FN恒過定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），拋物線C的焦點為(

p

2

，0)，故

p

2

=1，p=2，由此能求出拋物線C的方程和點M的坐標．
（Ⅱ）設AB的方程為x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理和兩點式方程能導出直線FN恒過定點（3，0）．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，（1分）
所以橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），（2分）
又拋物線C的焦點為(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，p=2，∴C：y²=4x，（3分）
設M（x₁，y₁），則y₁²=4x₁，直線F₁M的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，（4分）
代入拋物線C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²，
∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，∴F₁M與拋物線C相切，
∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，∴x₁=1，M（1，±2），（7分）
（Ⅱ）設AB的方程為x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=4t，

y1+y2

2

=2t，（9分）
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，

x1+x2

2

=2t2+1，（10分）
所以F（2t²+1，2t），將t換成-

1

t

得N（

2

t2

+1，-

2

t

），（12分）
由兩點式得FN的方程為x-(t-

1

t

) y=3，（13分）
當y=0時x=3，所以直線FN恒過定點（3，0）．（13分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意拋物線性質的靈活運用和韋達定理的合理運用．