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已知橢圓x2+
y2b2
=1(0<b<1)
的左焦點為F,左右頂點分別為A,C上頂點為B,過F,B,C三點作⊙P,其中圓心P的坐標為(m,n).
(1)若FC是⊙P的直徑,求橢圓的離心率;
(2)若⊙P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程.
分析:(1)由橢圓的方程知a=1,點B(0,b),C(1,0),設F的坐標為(-c,0),由FC是⊙P的直徑,知FB⊥BC.由kBC=-b,kBF=
b
c
,知b2=c=1-c2,c2+c-1=0.由此能求出橢圓的離心率.
(2)由P過點F,B,C三點,知圓心P既在FC的垂直平分線上,也在BC的垂直平分線上,FC的垂直平分線方程為x=
1-c
2
.由BC的中點為(
1
2
,
b
2
)
,kBC=-b,知BC的垂直平分線方程為y-
b
2
=
1
b
(x-
1
2
)
,所以m=
1-c
2
,n=
b2-c
2b
.由P(m,n)在直線x+y=0上,知b=c.由此能求出橢圓的方程.
解答:解:(1)由橢圓的方程知a=1,∴點B(0,b),C(1,0),
設F的坐標為(-c,0),(1分)
∵FC是⊙P的直徑,
∴FB⊥BC
kBC=-b,kBF=
b
c

-b•
b
c
=-1
(2分)
∴b2=c=1-c2,c2+c-1=0(3分)
解得c=
5
-1
2
(5分)
∴橢圓的離心率e=
c
a
=
5
-1
2
(6分)
(2)解:∵⊙P過點F,B,C三點,
∴圓心P既在FC的垂直平分線上,也在BC的垂直平分線上,
FC的垂直平分線方程為x=
1-c
2
①(7分)
∵BC的中點為(
1
2
b
2
)
,kBC=-b
∴BC的垂直平分線方程為y-
b
2
=
1
b
(x-
1
2
)
②(9分)
由①②得x=
1-c
2
,y=
b2-c
2b
,
m=
1-c
2
,n=
b2-c
2b
(11分)
∵P(m,n)在直線x+y=0上,
1-c
2
+
b2-c
2b
=0
?(1+b)(b-c)=0
∵1+b>0
∴b=c(13分)
由b2=1-c2b2=
1
2

∴橢圓的方程為x2+2y2=1(14分)
點評:本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,靈活運用橢圓的性質,合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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已知橢圓x2+
y2
b2
=1(0<b<1)
的左焦點為F,左右頂點分別為A,C上頂點為B,過F,B,C三點作⊙P,其中圓心P的坐標為(m,n).
(1)若橢圓的離心率e=
3
2
,求⊙P的方程;
(2)若⊙P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓x2+
y2b2
=1(0<b<1)
的左焦點為F,左、右頂點分別為A、C,上頂點為B.過F、B、C作⊙P,其中圓心P的坐標為(m,n).
(1)當m+n>0時,求橢圓離心率的范圍;
(2)直線AB與⊙P能否相切?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓x2+
y2b2
=1(0<b<1)
的左焦點為F,左、右頂點分別為A、C,上頂點為B,過F,B,C三點作⊙P,且圓心在直線x+y=0上,求此橢圓的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•懷化二模)在平面直角坐標系xoy中,已知橢圓x2+
y2b2
=1(0<b<1)的左焦點為F,左、右頂點分別為A,C,上頂點為B,過B,C,F三點作圓P.
(Ⅰ)若線段CF是圓P的直徑,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若圓P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程;
(Ⅲ)若直線y=x+t交(Ⅱ)中橢圓于M,N,交y軸于Q,求|MN|•|OQ|的最大值.

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