Question

已知橢圓

x2

|m|-2

+

y2

5-m

=1的離心率為

3

2

，求橢圓的短軸長．

Answer 1

分析：分類討論，利用離心率為

3

2

，建立方程，求出m，即可求橢圓的短軸長．

解答：解：焦點在x軸上時，
（1）由

m≥0 |m|-2-(5-m) |m|-2 = 3 4

可得m=

22

5

，此時方程為

x2

12 5

+

y2

3 5

=1，∴2b=

2 15

5

；
（2）由

m＜0 |m|-2-(5-m) |m|-2 = 3 4

，無解；
焦點在y軸上時，
（3）由

m≥0 5-m-[|m|-2] 5-m = 3 4

可得m=

13

5

，此時方程為

y2

12 5

+

x2

3 5

=1，∴2b=

2 15

5

；
（4）由

m＜0 5-m-[|m|-2] 5-m = 3 4

，可得m=

13

3

，此時方程為

y2

28 3

+

x2

7 3

=1，∴2b=

2 21

5

，
綜上：2b=

2 15

5

或

2 21

3

．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．