Question

已知．

 (I)若k＝2，求方程的解；

 (II)若關于x的方程在(0，2)上有兩個解x₁，x₂，求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

本題主要考查函數的基本性質、方程與函數的關系等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力．

（Ⅰ）解：（1）當k＝2時，　

①　當時，≥1或≤－1時，方程化為2

解得，因為，舍去，

所以．

②當時，－1＜＜1時，方程化為

解得，

由①②得當k＝2時，方程的解所以或．

 (II)解：不妨設0＜x₁＜x₂＜2，

因為

所以在（0,1］是單調函數，故＝0在（0,1］上至多一個解，

若1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂＝－＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．

由得，　所以；

由得，　所以；

故當時，方程在(0，2)上有兩個解．

因為0＜x₁≤1＜x₂＜2，所以，＝0

消去k 得　

即，

因為x₂＜2，所以．