Question

（2012•浦東新區一模）設滿足條件P：an+an+2≥2an+1(n∈N*)的數列組成的集合為A，而滿足條件Q：an+an+2＜2an+1(n∈N*)的數列組成的集合為B．
（1）判斷數列{a_n}：a_n=1-2n和數列{b_n}：bn=1-2n是否為集合A或B中的元素？
（2）已知數列an=(n-k)3，研究{a_n}是否為集合A或B中的元素；若是，求出實數k的取值范圍；若不是，請說明理由．
（3）已an=31(-1)i•log2n(i∈Z，n∈N*)，若{a_n}為集合B中的元素，求滿足不等式|2n-a_n|＜60的n的值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）根據a_n=1-2n，可得an+an+2=2an+1(n∈N*)，從而可得{a_n}為集合A中的元素；同理可得b_n+b_n+2＜2b_n+1，故{b_n}為集合B中的元素；
（2）計算a_n+a_n+2-2a_n+1=6（n+1-k），分類討論：當k≤2時，{a_n}∈A；設[k]為不超過k的最大整數，令n=[k]+1，n+1-k＞0，可得{a_n}∉A，{a_n}∉B；
（3）由|2n-a_n|=|2n-31log₂n|＜60，令c_n=2n-31log₂n，作差，可確定當n≥22時，c_n+1＞c_n，當n＜21時，c_n+1＜c_n，由此可得滿足不等式|2n-a_n|＜60的n的值組成的集合．

解答：解：（1）∵a_n=1-2n
∴a_n+a_n+2=（1-2n）+[1-2（n+2）]=-4n-2，2a_n+1=2[1-2（n+1）]=-4n-2
∴an+an+2=2an+1(n∈N*)
∴{a_n}為集合A中的元素，即{a_n}∈A．…（2分）
bn+bn+2=(1-2n)+(1-2n+2)=2-5×2n，2bn+1=2(1-2n+1)=2-4×2n
∴b_n+b_n+2＜2b_n+1
∴{b_n}為集合B中的元素，即{b_n}∈B．…（4分）
（2）a_n+a_n+2-2a_n+1=（n-k）³+（n+2-k）³-2（n+1-k）³=6（n+1-k），
當k≤2時，a_n+a_n+2≥2a_n+1對n∈N^*恒成立，此時，{a_n}∈A；…（7分）
當k＞2時，令n=1，n+1-k＜0，a_n+a_n+2＜2a_n+1；
設[k]為不超過k的最大整數，令n=[k]+1，n+1-k＞0，a_n+a_n+2＞2a_n+1，此時，{a_n}∉A，{a_n}∉B．…（10分）
（3）|2n-a_n|=|2n-31log₂n|＜60，令c_n=2n-31log₂n，
c_n+1-c_n=2-31log₂

n+1

n

＞0，即n＞21.8；
當n≥22時，c_n+1＞c_n，于是c₂₂＜c₂₃＜…，
當n＜21時，c_n+1＜c_n，于是c₁＞c₂＞…＞c₂₂；…（13分）
∵|c₄|=|-54|＜60，|c₅|≈|-61.9|＞60，|c₆₂|≈|-60.6|＞60，|c₆₃|≈|-59.3|＜60，
|c₁₄₀|≈58.99＜60，|c₁₄₁|≈60.7＞60，
∴滿足不等式|2n-a_n|＜60的n的值組成的集合為{c₁，c₂，c₃，c₄，c₆₃，c₆₄，…c₁₄₀}，共82項．…（16分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查新定義，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是理解新定義，屬于中檔題．