Question

【題目】已知函數，，.

（1）求函數的單調增區間；

（2）令，且函數有三個彼此不相等的零點，其中.

①若，求函數在處的切線方程；

②若對，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②或

【解析】

（1）求出導函數，由確定增區間；

（2）由的根是，可得是方程的兩實根，故，且由判別式得．

①由已知，可解得．然后可由導數幾何意義求得切線方程；

②若對任意的，都有成立，所以，由的零點可得函數的性質（單調性，函數值的正負）．由可得，因此可分類：時，的最大值為0，當時，在上有極大值點也是最大值點，利用極值點導數值為0可得極值點與的關系，把它代入可得的范圍，再由的范圍可求得的取值范圍．綜合以上分析可得結論．

（1），所以，

令，得或．

所以的增區間是，．

（2），由方程，得是方程的兩實根，故，且由判別式得．

①若，則，故由得．

，，，，

所以所求切線方程為，即．

②若對任意的，都有成立，所以.因為，所以或.

當時，對有，，所以，解得.又因為，得，則有；

當時，，則存在的極大值點，且.

由題意得，將代入得，進而得到，得.又因為，得.

綜上可知的取值范圍是或.