Question

已知△ABC的兩個頂點A、B分別是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1 的左、右焦點，三個內角A、B、C滿足sinA-sinB=

1

2

sinC，則頂點C的軌跡方程是（　�。�

• A．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1  （x＜0）
• C．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1 （x＜-2 ）
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：利用正弦定理可把sinA-sinB=

1

2

sinC化為|BC|-|AC|=

1

2

|AB|，從而判斷頂點C是以A、B為焦點的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點），根據已知條件求出相關量即可求得方程．

解答：解：因為A、B是橢圓橢圓

x2

25

+

y2

9

=1 的左、右焦點，所以A（-4，0），B（4，0），
由正弦定理得，

|BC|

sinA

=

|AC|

sinB

=

|AB|

sinC

=2R（R為△ABC外接圓的半徑），
所以由sinA-sinB=

1

2

sinC，得

|BC|

2R

-

|AC|

2R

=

1

2

•

|AB|

2R

，即|BC|-|AC|=

1

2

|AB|=4＜|AB|，
所以頂點C是以A、B為焦點的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點），
設頂點C的軌跡方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜-a），
則a=2，c=4，所以b²=c²-a²=16-4=12，
故頂點C的軌跡方程為

x2

4

-

y2

12

=1(x＜-2)．
故選C．

點評：本題考查圓錐曲線方程的求法及正弦定理的應用，考查學生分析解決問題的能力，本題需注意所求軌跡上的點C為三角形頂點，故與A、B不共線．