Question

（文科試題）已知拋物線y²=2px，O是坐標原點，F是焦點，P是拋物線上的點，使得△POF是直角三角形，則這樣的點P共有

2

個．

Answer 1

分析：顯然直角三角形△POF的直角頂點不可能是坐標原點O．當直角頂點在焦點F時，易得滿足條件的P點有兩個；接下來用數量積可證明

OP

•

FP

＞0，可得∠OPF是銳角，最后綜上所述，得滿足條件的點P只有兩個．

解答：解：分3種情況加以討論
①根據題意，顯然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角頂點不可能是原點O，
②當∠PFO=90°時，即直角頂點在焦點F時，過點F作直線與x軸垂直，交于拋物線y²=2px于P點，這樣滿足條件的P點有兩個；
③接下來證明∠OPF不可能是直角：
拋物線的焦點坐標為F（

p

2

，0），設拋物線上的點P坐標為（

y2

2p

，y），可得

OP

=（

y2

2p

，y），

FP

=（

y2

2p

-

p

2

，y）
∴

OP

•

FP

=

y2

2p

（

y2

2p

-

p

2

）+y²=

y4

4p2

+

3y2

4

∵

y4

4p2

＞0且

3y2

4

＞0
∴

OP

•

FP

=

|OP|

•

|FP|

cos∠OPF＞0，
∴cos∠OPF＞0，結合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是銳角．
綜上所述，得滿足條件的點P只有兩個．
故答案為：2

點評：本題給出直角三角形的兩個頂點在原點和拋物線的焦點，第三個點在拋物線上，求滿足條件三角形的個數，著重考查了拋物線的基本性質和向量和數量積等知識，屬于基礎題．