Question

（文科試題）已知拋物線y²=2px，O是坐標原點，F是焦點，P是拋物線上的點，使得△POF是直角三角形，則這樣的點P共有    個．

Answer 1

【答案】分析：顯然直角三角形△POF的直角頂點不可能是坐標原點O．當直角頂點在焦點F時，易得滿足條件的P點有兩個；接下來用數量積可證明＞0，可得∠OPF是銳角，最后綜上所述，得滿足條件的點P只有兩個．
解答：解：分3種情況加以討論
①根據題意，顯然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角頂點不可能是原點O，
②當∠PFO=90°時，即直角頂點在焦點F時，過點F作直線與x軸垂直，交于拋物線y²=2px于P點，這樣滿足條件的P點有兩個；
③接下來證明∠OPF不可能是直角：
拋物線的焦點坐標為F（，0），設拋物線上的點P坐標為（，y），可得
=（，y），=（-，y）
∴=（-）+y²=+
∵＞0且＞0
∴=＞0，
∴cos∠OPF＞0，結合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是銳角．
綜上所述，得滿足條件的點P只有兩個．
故答案為：2
點評：本題給出直角三角形的兩個頂點在原點和拋物線的焦點，第三個點在拋物線上，求滿足條件三角形的個數，著重考查了拋物線的基本性質和向量和數量積等知識，屬于基礎題．