Question

某種產品每件成本為6元，每件售價為x元（x＞6），年銷量為u萬件，若已知

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8

-u與(x-

21

4

)2成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件．
（1）求年銷售利潤y關于x的函數關系式．
（2）求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤．

Answer 1

（1）設

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8

-u=k(x-

21

4

)2，
∵售價為10元時，年銷量為28萬件；
∴

585

8

-28=k(10-

21

4

)2，解得k=2．
∴u=-2(x-

21

4

)2+

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=-2x²+21x+18．
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108．
（2）y'=-6x²+66x-108=-6（x²-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
顯然，當x∈（6，9）時，y'＞0當x∈（9，+∞）時，y'＜0
∴函數y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上是關于x的增函數；
在（9，+∞）上是關于x的減函數．
∴當x=9時，y取最大值，且y_max=135．
∴售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．