Question

某種產品每件成本為6元，每件售價為x元（x＞6），年銷量為u萬件，若已知與成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件．
（1）求年銷售利潤y關于x的函數關系式．
（2）求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中條件：“若已知與成正比”可設，再依據售價為10元時，年銷量為28萬件求得k值，從而得出年銷售利潤y關于x的函數關系式．
（2）利用導數研究函數的最值，先求出y的導數，根據y′＞0求得的區間是單調增區間，y′＜0求得的區間是單調減區間，從而求出極值進而得出最值即可．
解答：解：（1）設，
∵售價為10元時，年銷量為28萬件；
∴，解得k=2．
∴=-2x²+21x+18．
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108．
（2）y'=-6x²+66x-108=-6（x²-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
顯然，當x∈（6，9）時，y'＞0當x∈（9，+∞）時，y'＜0
∴函數y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上是關于x的增函數；
在（9，+∞）上是關于x的減函數．
∴當x=9時，y取最大值，且y_max=135．
∴售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．
點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．屬于基礎題．