Question

設經過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點F₁作傾斜角為

π

6

的直線與雙曲線左右兩支分別交于點A，B．求
（I）線段AB的長；
（II）設F₂為右焦點，求△F₂AB的周長．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點的距離公式求出|AB|．
（II）利用焦半徑公式求出|F₂A|，|F₂B|；利用韋達定理求出）|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周長．

解答：解：（I）F₁（-2，0）
k=tan

π

6

=

3

3

設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
將直線AB：y=

3

3

(x+2)代入3x²-y²-3=0
整理得8x²-4x-13=0
由距離公式|AB|=

1+k2

△

8

=3（6分）
（II）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴|F2A|+|F2B|=2(x1-x2)=2•

(x1+x2)2-4x1x2

=2•

3

2

3

=3

3

∴△F2AB的周長L=3+3

3

（12分）

點評：解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯立，利用弦長公式|AB|=

1+k2

△

8

．