Question

以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為    ；設F₁和F₂為雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為    ；經過拋物線y=的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若y₁+y₂=5，則線段AB的長等于    ．

Answer 1

【答案】分析：設正方形邊長為2，設正方形中心為原點，設橢圓的標準方程，則可知c，的a和b的關系式，進而求得BC的中點坐標代入橢圓方程，得到a和b的另一關系式，最后聯立求得a，則橢圓的離心率可得；畫出圖形，可得=，從而可求雙曲線的離心率；利用拋物線的定義，即可確定AB的長．
解答：解：設正方形邊長為2，設正方形中心為原點
則橢圓方程為
且c=
∴a²-b²=c²=2①
正方形BC邊的中點坐標為（，）
代入方程得到②
聯立①②解得a=
∴e==；
如圖，∵=tan60°，
∴=，
∴4b²=3c²，
∴4（c²-a²）=3c²，
∴c²=4a²，
∴e==2；
經過拋物線y=的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則|AB|=y₁+y₂+2
∵y₁+y₂=5，∴|AB|=7
故答案為：，2，7．
點評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的簡單性質，考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．