Question

20．已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，當x=-1時，f（x）的極大值為7；當x=3時，f（x）有極小值．
求（1）a，b，c的值；
（2）函數f（x）的極小值．

Answer 1

分析 （1）因為當x=-1時，f（x）有極大值，當x=3時，f（x）有極小值，所以把x=-1和3代入導數，導數都等于0，就可得到關于a，b，c的兩個等式，再根據極大值等于7，又得到一個關于a，b，c的等式，三個等式聯立，即可求出a，b，c的值．
（2）因為函數再x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數，求出的函數值即為函數的極小值．

解答 解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f'（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是極值點，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b=0}\\{f′（3）=27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²-9x+2而x=3是它的極小值點，
所以函數f（x）的極小值為-25．

點評 本題主要考查導數在求函數的極值中的應用，做題時要細心．理解極值與導數的對應關系及極值的判斷規則是解題的關鍵，本題是導數應用題，常見題型．