Question

直角坐標平面上，為原點，為動點，，. 過點作軸于，過作軸于點，. 記點的軌跡為曲線，
點、，過點作直線交曲線于兩個不同的點、（點在與之間）.
（1）求曲線的方程；
（2）是否存在直線，使得，并說明理由.

Answer 1

（1）  （2）不存在直線l，使得|BP|=|BQ|

試題分析：(Ⅰ)設點T的坐標為，點M的坐標為，則M₁的坐標為（0，），
，于是點N的坐標為，N₁的坐標
為，所以   
由
由此得   
由
即所求的方程表示的曲線C是橢圓.       
(Ⅱ)點A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C
無交點，所以直線l斜率存在，并設為k. 直線l的方程為    
由方程組
依題意   
當時，設交點PQ的中點為，
則
 
又     

而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.  
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．當涉及直線與圓錐曲線的位置關系時，常需要把直線方程與圓錐曲線的方程聯立，借助韋達定理求得答案．