Question

已知函數φ（x）=5x²+5x+1（x∈R），函數y=f（x）的圖象與φ（x）的圖象關于點（0，

1

2

）中心對稱．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）如果g₁（x）=f（x），g_n（x）=f[g_n-1（x）]（n∈N，n≥2），試求出使g₂（x）＜0成立的x取值范圍；
（3）是否存在區間E，使E∩{x|f（x）＜0}=∅對于區間內的任意實數x，只要n∈N且n≥2時，都有g_n（x）＜0恒成立？

Answer 1

分析：（1）根據函數y=f（x）的圖象與φ（x）的圖象關于點（0，

1

2

）中心對稱可得f（x）=1-φ（-x），可求出所求；
（2）由g₂（x）=5g₁（x）-5g₁²（x）＜0求出g₁（x）的范圍，然后可求出x的取值范圍；
（3）根據（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）∩{x|f（x）＜0}=∅，驗證n=2，3是否成立，然后利用數學歸納法進行證明即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）∵函數y=f（x）的圖象與φ（x）的圖象關于點（0，

1

2

）中心對稱
∴f（x）=1-φ（-x）=1-（5x²-5x+1）=5x-5x²
（2）由g₂（x）=5g₁（x）-5g₁²（x）＜0解得g₁（x）＜0或g₁（x）＞1
即5x-5x²＜0或5x-5x²＞1
解得x＜0或x＞1或

5- 5

10

＜x＜

5+ 5

10

（3）由{x|f（x）＜0}={x|x＜0或x＞1}，
又（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）∩{x|x＜0或x＞1}=∅，，
當x∈（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）時，g₂（x）＜0，g₃（x）=5g₂（x）-5g₂²（x）＜0，
∴對于n=2，3時，E⊆（

5- 5

10

，

5+ 5

10

），命題成立．
以下用數學歸納法證明E⊆（

5- 5

10

，

5+ 5

10

），對n∈N，且n≥2時，都有g_n（x）＜0成立
假設n=k（k≥2，k∈N）時命題成立，即g_k（x）＜0，
那么g_k+1（x）=f[g_k（x）]=5g_k（x）-5g_k²（x）＜0即n=k+1時，命題也成立．
∴存在滿足條件的區間E⊆（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）．

點評：本題主要考查了函數的對稱性，以及不等式的解法和數學歸納法的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．