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已知函數f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實數a的值;
(2)若對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求實數a的取值范圍.
分析:(1)先將函數進行配方得到對稱軸,判定出函數f(x)在[1,a]上的單調性,然后根據定義域和值域均為[1,a]建立方程組,解之即可;
(2)將a與2進行比較,將條件“對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4”轉化成對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有f(x)max-f(x)min≤4恒成立即可.
解答:解:(1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是減函數,又定義域和值域均為[1,a],
f(1)=a
f(a)=1
,
1-2a+5=a
a2-2a2+5=1
,解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)-a≤a-1
∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2
∵對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2
f(x)max-f(x)min≤4顯然成立,綜上1<a≤3.
點評:本題主要考查了函數的最值及其幾何意義,同時考查了轉化與劃歸的數學思想,屬于中檔題之列.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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