Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， ），以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.曲線
（1）若直線l曲線 相交于點(diǎn) ， ， ，證明： 為定值；
（2）將曲線 上的任意點(diǎn) 作伸縮變換 后，得到曲線 上的點(diǎn) ，求曲線 的內(nèi)接矩形 周長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線

，

（2）解：伸縮變換后得 ： .其參數(shù)方程為： .

不妨設(shè)點(diǎn) 在第一象限，由對(duì)稱性知：周長(zhǎng)為

，（ 時(shí)取等號(hào)）周長(zhǎng)最大為8

【解析】(1)由已知把直線的參數(shù)方程代入到圓的方程得到關(guān)于t的一元二次方程，借助韋達(dá)定理求出關(guān)系代入要求的式子即可得到結(jié)果。(2)根據(jù)伸縮變換轉(zhuǎn)化可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程因?yàn)?A ( m , n ) 在第一象限由對(duì)稱性可知周長(zhǎng)為 4 ( m + n ) = 4 ( cos θ + sin θ )，整理成同名的三角函數(shù)式借助正弦函數(shù)的最值情況求出周長(zhǎng)的最大值。