Question

實數x，y滿足x≥0，y≥0且x+2y=1，則2x+3y²的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由實數x，y滿足x≥0，y≥0且x+2y=1，我們易將y用x表示，且易給出其取值范圍，則2x+3y²可表示為一個關于y的二次函數，結合二次函數在定區間上最值的求法，不難得到結果．

解答：解：由x≥0，y≥0，x+2y=1知0≤y≤

1

2

，
令Z=2x+3y²=2-4y+3y²=3（y-

2

3

）²+

2

3

由函數解析式得：y∈（-∞，

2

3

）時遞減
所以當y=

1

2

時，Z=2x+3y²有最小值

3

4

故答案為：

3

4

．

點評：（1）解二次函數求最值問題，首先采用配方法，將二次函數化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點（m，n）或對稱軸方程x=m，可分成三個類型：①頂點固定，區間固定；②頂點含參數，區間固定；③頂點固定，區間變動．（2）二次函數的最值問題能夠將有關二次函數的全部知識和性質融合在一起，還經常和實際問題以及其他考點的知識相結合考查考生的函數思想水平和數學抽象能力，所以歷來為高考命題專家所青睞．解決最值問題的關鍵是與圖象結合，就是用數形結合的方法和運動變化的觀點進行分析，然后用抽象的數學表達式反映考題的本質．當然這離不開有關函數最值的基本知識，如最值公式、均值定理、配方法等．