Question

.如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f(x)的定義域內，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數”.
（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：
① f(x)＝ ；    ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數，求M的最小值.

Answer 1

（1）f(x)＝ 是保三角形函數，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數.
（2）M的最小值為2.

① f(x)＝ 是保三角形函數.
對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因為(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.
同理可以證明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ 是保三角形函數.
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數. 取，顯然這三個數能作為一個
三角形的三條邊的長. 而sin＝1，sin＝，不能作為一個三角形的三邊長.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數.
(i)首先證明當M≥2時，函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數.
對任意一個三角形三邊長a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長.
故函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數.
(ii)其次證明當0<M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數.
當0<M＜2時，取三個數M，M，M²∈［M，＋∞)，
因為0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某個三角形的三條邊長，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個三角形的三邊長，
所以h(x)＝lnx不是保三角形函數.
所以，當M＜2時，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數.
綜上所述：M的最小值為2.