Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，點E，F(xiàn)分別為BC、PD的中點，若PA=AD=4，AB=2．
（1）求證：EF∥平面PAB．
（2）求直線EF與平面PCD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在

直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）C（2，4，0），E（2，2，0），F(xiàn)（0，2，2）

∴ =（﹣2，0，2），平面PAB的一個法向量是 =（0，4，0）

∵ =0，

∴ ，

故 EF∥平面PAB

（2）∵ =（2，0，0）， =（0，﹣4，4）.

設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z）

則 得 ∴令z=1，得 =（0，1，1）

而 =（﹣2，0，2），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴＜ ， ＞=60°

所以EF與平面PCD所成的角是90°﹣60°=30°

【解析】（1）以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系， =（﹣2，0，2），平面PAB的一個法向量是 =（0，4，0），證明 ，即可證明EF∥平面PAB；（2）求出平面PCD的一個法向量，即可求直線EF與平面PCD所成的角．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．