Question

（2013•閔行區一模）已知函數f(x)=loga

1-x

1+x

(0＜a＜1)．
（1）求函數f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）用定義證明函數f（x）在D上是增函數；
（3）如果當x∈（t，a）時，函數f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值．

Answer 1

分析：（1）直接由真數大于0，解分式不等式可得函數的定義域，利用定義判斷函數的奇偶性；
（2）直接利用函數的單調性定義證明，作差整理后出現對數式，這需要證明對數式的真數與1的大小關系，可以單獨拿出運用作差法；
（3）給出的函數是對數型的復合函數，經分析可知內層分式函數為減函數，外層對數函數也為減函數，要保證
當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），首先應有（t，a）⊆（-1，1），且當x∈（t，a）時，

1-x

1+x

∈（a，+∞），結合內層函數圖象及單調性可得t=-1，且

1-a

1+a

=a，從而求出a和t的值；

解答：解：（1）要使原函數有意義，則

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以函數f（x）的定義域D=（-1，1）．
函數f（x）在定義域內為奇函數．
證明：對任意x∈D，f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)
所以函數f（x）是奇函數．
另證：對任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0
所以函數f（x）是奇函數．
（2）設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=loga

1-x1

1+x1

-loga

1-x2

1+x2

=loga(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)=loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

．
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）-[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=2（x₂-x₁）＞0．
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=（1-x₁）（1-x₂）＞0．
∴

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＞1．
∵0＜a＜1，
∴loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數f（x）在D上是增函數．
（3）由（2）知，函數f（x）在（-1，1）上是增函數，
又因為x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），
所以（t，a）⊆（-1，1）且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（結合g（x）圖象易得t=-1）
由

1-a

1+a

=a，得：a²+a=1-a，解得：a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．
所以a=

2

-1，t=-1．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了利用定義證明函數的單調性，考查了復合函數的單調性，考查了復合函數的值域，此題的處理有兩處難點，一是利用定義證明單調性時對差式的真數與1的大小判斷，二是（3）中的轉化求值，體現了學生靈活處理問題的能力，此題屬有一定難度題型．