Question

已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延長CA到P，再延長AB
到Q，使AP=BQ.求證：O，A，P，Q四點共圓.

Answer 1

證明 連接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在頂角的平分線上，
∴∠OAC=∠OAQ，
從而∠OCP=∠OAQ，
在△OCP和△OAQ中，
由已知CA=AB，AP=BQ，
∴CP=AQ.又OC=OA，
∠OCP=∠OAQ，
∴△OCP≌△OAQ，
∴∠CPO=∠AQO，
∴O，A，P，Q四點共圓.

證明 連接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在頂角的平分線上，
∴∠OAC=∠OAQ，
從而∠OCP=∠OAQ，
在△OCP和△OAQ中，
由已知CA=AB，AP=BQ，
∴CP=AQ.又OC=OA，
∠OCP=∠OAQ，
∴△OCP≌△OAQ，
∴∠CPO=∠AQO，
∴O，A，P，Q四點共圓.