Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，其右焦點F₂與拋物線y2=4

3

x的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與F₂構成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的中心作一條直線與其相交于P，Q兩點，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，求

PF1

•

PF2

的值．

Answer 1

分析：（1）拋物線的焦點坐標為(

3

，0)，故c=

3

，由短軸的兩個端點與F₂構成正三角形，知a=2b，由此能夠導出橢圓的方程．
（2）設P點坐標為（x₀，y₀），由橢圓的對稱性知，S四邊形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×

1

2

×F1F2×|yP|，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，由對稱性能夠導出

PF1

•

PF2

的值．

解答：解：（1）由題，拋物線的焦點坐標為(

3

，0)，故c=

3

…（2分）
又因為短軸的兩個端點與F₂構成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1…（7分）
（2）設P點坐標為（x₀，y₀），由橢圓的對稱性知，S四邊形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×

1

2

×F1F2×|yP|
當四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，
由對稱性不妨設P（0，1）…（10分）
又F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)則

PF1

=(-

3

，-1)，

PF2

=(

3

，-1)
所以

PF1

•

PF2

=(-

3

，-1)•(

3

，-1)=-3+1=-2…（16分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．