Question

【題目】已知函數，

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）求在區間上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若，求證：當，恒有

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時， 在區間上的最小值為；當時， 在區間上的最小值為（3）見解析

【解析】試題分析：(1) ,又，易得： ，檢驗滿足題意即可；

（2）對分類討論，明確函數的單調性，從而得到在區間上的最小值；

（3）欲證，只需證，即證，即，

設，求函數的最小值大于零即可.

試題解析：

（1）由，定義域為

得

因為函數在處取得極值，

所以，即，解得

經檢驗，滿足題意，所以。

（2）由（1）得 ，定義域為

當時，由得，且

當時， ， 單調遞減，當時， ， 單調遞增

所以在區間上單調遞增，最小值為；

當時，

當時， ， 單調遞減，當時， ， 單調遞增

所以函數在處取得最小值

綜上，當時， 在區間上的最小值為；

當時， 在區間上的最小值為

（3）證明：由得

當時， ，

欲證，只需證

即證，即

設

則

當時， ，所以在區間上單調遞增。

所以當時， ，即

故

所以當時， 恒成立。