Question

（2012•月湖區模擬）已知函數f(x)=mx-

m-1

x

-lnx(m∈R)，g(x)=

1

x

+lnx．
（I）求g（x）的極小值；
（II）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調增函數，求m的取值范圍；
（III）設h(x)=

2e

x

，若在[1，e]（e是自然對數的底數）上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，x＞0，求導函數，確定函數的單調性，即可求得g（x）的極小值；
（Ⅱ）求導函數y′=

mx2-2x+m

x2

，根據f（x）-g（x）在[1，+∞）內為單調增函數，所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分離參數法，即可求得m的取值范圍；
（III）當x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）；當x∈（1，e]時，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞

2e+2xlnx

x2-1

，構造函數，確定函數的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，x＞0，g′（x）=

x-1

x2

，
∴當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0，
所以，g（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，故g（x）_極小值=g（1）=1．  …（4分）
（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴y′=

mx2-2x+m

x2

，
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）內為單調增函數，
所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥

2x

1+x2

在[1，+∞）上恒成立，
∵（

2x

1+x2

）_max=1，
∴m的取值范圍是[1，+∞）．               …（8分）
（III）當x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）．
當x∈（1，e]時，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞

2e+2xlnx

x2-1

，令G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，
則G′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

＜0，
所以G（x）在（1，e]上遞減，G（x）_min=G（e）=

4e

e2-1

．
綜上，要在[1，e]上存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，必須且只需m＞

4e

e2-1

．

點評：本題考查導數的求法及應用、不等式中在恒成立和存在解不同狀況下的參數范圍的求法，考查學生運算能力、思維能力和解決問題的能力，屬于難題．