Question

（2012•月湖區模擬）已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡三角函數，即可求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，結合正弦、余弦定理，可求a，b的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1…．（3分）
∵-1≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴-2≤sin(2x-

π

6

)-1≤0，∴f（x）的最大值為0，
最小正周期是T=

2π

2

=π…（6分）
（2）由f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，可得sin(2C-

π

6

)=1
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11

6

π
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得

a

b

=

1

2

①…（9分）
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

∵c=3
∴9=a²+b²-ab②
由①②解得a=

3

，b=2

3

…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查正弦、余弦定理的運用，屬于中檔題．