Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足S_n=

1

2

（1-a_n）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=na_n，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求數列的和，即可證得結論．

解答：（1）解：∵S_n=

1

2

（1-a_n），∴n≥2時，S_n-1=

1

2

（1-a_n-1）．
兩式相減可得a_n=

1

2

（a_n-1-a_n），∴

an

an-1

=

1

3

∵n=1時，a₁=S₁=

1

2

（1-a₁），∴a₁=

1

3

∴數列{a_n}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列
∴a_n=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）證明：b_n=na_n=n•(

1

3

)n
令T_n=b₁+b₂+…+b_n，即T_n=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n
∴

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+（n-1）•(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1
兩式相減可得

2

3

T_n=1•

1

3

+1•(

1

3

)2+1•(

1

3

)3+…+1•(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-n•(

1

3

)n+1=

1-( 1 3 )n

2

-n•(

1

3

)n+1
∴T_n=

3[1-( 1 3 )n]

4

-

3n

2

•(

1

3

)n+1，
∴T_n＜

3

4

．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的判定，考查數列的求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．