Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，點A在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，則此三棱錐體積最大值是（　　）

• A、

  3

  6

  a 3
• B、

  2

  3

  a3
• C、

  a3

  3

• D、

  a3

  6

Answer 1

分析：由已知中點A在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心，我們易證明出三棱錐S-ABC的三條側棱也相等，則三棱錐S-ABC的三條側棱互相垂直時，體積取最大值，代入體積公式，即可求出答案．

解答：解：點A在側面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD為BC邊上的高
∴SA⊥BC，SC⊥AB．
設O為S在底面的射影，
則BC⊥面SAD，則O一定在AD上，
AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，
所以O是底面ABC的垂心．也是外心，
∴SA=SB=SC=a．
則當SA，SB，SC互相垂直時體積最大
此時V=

1

3

×

1

2

•a•a•a=

a3

6

故選D

點評：本題考查的點是三棱錐的體積及三角形的垂心，其中根據已知條件，證明出三棱錐S-ABC的三條側棱也相等，是解答本題的關鍵．