Question

已知曲線C：y²=4x，直線l交于A、B兩點，l過C的焦點，OAQB構成平行四邊形，求Q得軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出焦點的坐標，討論直線l的斜率存在、不存在兩種情況，斜率存在設出直線l的方程，與拋物線方程聯立消去y，利用韋達定理求出x₁+x₂，利用直線方程求出y₁+y₂，利用平行四邊形對角線的性質，求出點Q（x，y）的參數方程，消參數后即可得到點Q的軌跡方程．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由拋物線y²=4x得，焦點坐標為（1，0），
當直線l的斜率不存在時，方程為x=1，中點就是F，此時Q點的坐標為（2，0）；
當直線的斜率存在時，設直線l的方程可設為y=k（x-1）（k≠0），
由

y=k(x-1) y2=4x

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則△=x₁+x₂=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
∵OAQB構成平行四邊形，
∴由平行四邊形的性質，線段AB與線段OQ的交點是AB、OQ的中點，
則x₁+x₂=x，y₁+y₂=y，即

x= 2k2+4 k2 y= 4 k

，
消去k得，y²=4（x-2），驗證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
所以Q的軌跡方程是y²=4（x-2）．

點評：本題考查動點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的位置關系，參數方程的相關知識：設參、消參的相關技巧，綜合性較強，平行四邊形的對角線的交點的特征是解題的關鍵．