Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）當(dāng)a=e，x取一切非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，若$f（x）≤b-\frac{1}{2}{x^2}$，求b的范圍；
（2）若函數(shù)f（x）存在極大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$b≥\frac{1}{2}{x^2}+x-{e^x}$恒成立，令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x-e^x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出g（a）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=x-e^x，
原題分離參數(shù)得$b≥\frac{1}{2}{x^2}+x-{e^x}$恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x-e^x，g′（x）=x+1-e^x，g″（x）=1-e^x＜0，
故g′（x）在[0，+∞）遞減，g′（x）＜g′（0）=0，
故g（x）在[0，+∞）遞減，
g（x）≤g（0）=-1，
故b≥-1；
（2）f'（x）=1-a^xlna，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^x＞0，lna＜0，
所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上為單增函數(shù)，無(wú)極大值；
②當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)方程f'（x）=0的根為t，
則有${a^t}=\frac{1}{lna}$，即$t={log_a}\frac{1}{lna}=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}$，
所以f（x）在（-∞，t）上為增函數(shù)，在（t，+∞）上為減函數(shù)，
所以f（x）的極大值為$f（t）=t-{a^t}=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}$，
即$g（a）=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}$，因?yàn)閍＞1，所以$\frac{1}{lna}＞0$，
令$x=\frac{1}{lna}$則$\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}=xlnx-x$，
設(shè)h（x）=xlnx-x，x＞0，則$h'（x）=lnx+x•\frac{1}{x}-1=lnx$，
令h'（x）=0，得x=1，
所以h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）得最小值為h（1）=-1，
即g（a）的最小值為-1，
此時(shí)a=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．