Question

平面內到定點（1，0）和到定點（4，0）的距離的比為的點的軌跡為曲線M，直線l與曲線M相交于A，B兩點，若在曲線M上存在點C，使，且，求直線l的斜率及對應的點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：設曲線C上的任意一點P（x，y），利用平面內到定點（1，0）和到定點（4，0）的距離的比為，可得，從而可求曲線C的方程；利用，且，可得，，從而可求直線l的斜率，設C（x，y），利用，可求對應的點C的坐標為．
解答：解：設曲線C上的任意一點P（x，y），則，
化簡可得曲線C的方程為x²+y²=4．…（4分）
∵，且
∴，
∵
∴                                  …（8分）
設C（x，y），由，解得或
∴直線l的斜率為，對應的點C的坐標為或．…（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查向量知識的運用，考查直線的斜率，解題的關鍵是掌握軌跡方程的一般求法．