Question

設{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，且a₁=0，若c_n=a_n+b_n，數列{c_n}的前三項依次為1，1，2
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；  
（2）在數列{a_n}中依次抽出第1，2，4…2^n-1項組成新數列{k_n}，寫出{k_n}的通項公式；
（3）設d_n=a_n-b_n，求數列{d_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意利用等差、等比數列的通項公式，建立關于{a_n}的公差d和{b_n}的公比q的方程組，解出d、q的值即可{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）由{a_n}的通項公式，將n=2^n-1代入即可得到{k_n}的通項公式；
（3）由（1）的結論得d_n=1-n-2^n-1 ，再利用等差數列與等比數列的求和公式加以計算，即可得到{d_n}的前n項和S_n的表達式．

解答：解：：（1）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，由題意得

d+q=1 2d+q2=2

，解得

d=1 q=0

（舍去）或

d=-1 q=2

，…（4 ）分
∴{a_n}和{b_n}的通項公式分別為a_n=1-n，b_n=2^n-1 ．  …（6）分
（2）根據題意，可得k_n=a2n-1=1-2^n-1           …（10分）
（3）∵a_n=1-n，b_n=2^n-1 ，d_n=a_n-b_n，
∴d_n=1-n-2^n-1 ，…（12分）
可得{d_n}的前n項和為
S_n=[（1-1）-2⁰]+[（1-2）-2¹]+[（1-3）-2²]+…+[（1-n）-2^n-1 ]，
=[n-（1+2++…+n）]-

1-2n

1-2

=n-

n(n+1)

2

+1-2ⁿ
=

-n2+n+2

2

-2ⁿ．…（15分）

點評：本題給出等差、等比數列滿足的條件，求它們的通項公式并依此求另一個數列的前n項之和．著重考查了等差行數數列的通項公式、求和公式及其應用的知識，屬于中檔題．