Question

若過點A（a，a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：把已知圓的方程化為標準方程，找出圓心P的坐標和圓的半徑r，并根據二元二次方程構成圓的條件可得a的范圍，利用兩點間的距離公式求出|AP|的值，由過A可作圓的兩條切線，得到點A在圓P外，可得|AP|的值大于圓的半徑r，列出關于a的不等式，求出不等式的解集，與求出的a的范圍求出并集，可得滿足題意a的取值范圍．
解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x-a）²+y²=3-2a，
可得圓心P坐標為（a，0），半徑r=，且3-2a＞0，即a＜，
由題意可得點A在圓外，即|AP|=＞r=，
即有a²＞3-2a，整理得：a²+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜，
可得a＜-3或 ，
則實數a的取值范圍是（-∞，-3）∪（1，）
故答案為：（-∞，-3）∪（1，）
點評：此題考查了點與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，二元二次方程構成圓的條件，以及不等式的解法，點與圓的位置關系由這點到圓心的距離d與半徑r的大小關系來確定：當d=r，點在圓上；d＞r，點在圓外；d＜r，點在圓內．