Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
（I）求與

a

平行的單位向量

c

；
（II）設

x

=

a

 +(t2+3)

b

，

y

=-k•t

a

+

b

，若存在t∈[0，2]使得

x

⊥

y

成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設向量

c

=（x，y），根據題意，向量

c

為單位向量且與

a

平行，可得

x+ 3 y=0 x2+y2=1

；解可得x、y的值，即可得答案；
（Ⅱ）根據題意，由

x

⊥

y

可得-kt|

a

|²+（t²+3）|

b

|²=0，進一步可化簡為t²-4kt+3=0；可將原問題方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內有解，分析易得t≠0，則可將其變形為k=

1

4

（t+

3

t

），由基本不等式易得k的最小值，即可得答案．

解答：解：（I）設向量

c

=（x，y），
則有

x+ 3 y=0 x2+y2=1

；
解可得

x= 3 2 y=- 1 2

或

x=- 3 2 y= 1 2

，
則

c

=（

3

2

，-

1

2

）或（-

3

2

，

1

2

）；
（II）根據題意，易得|

a

|=2，|

b

|=1，且

a

•

b

=0；
由

x

⊥

y

可得-kt|

a

|²+（t²+3）|

b

|²=0，
即t²-4kt+3=0，
問題轉化為方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內有解，
則當t=0時，方程t²-4kt+3=0不成立，所以t≠0，
此時k=

1

4

（t+

3

t

）≥

3

2

，當且僅當t=

3

t

時取到等號，
故k的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查向量數量積運算的綜合應用，解（Ⅱ）題時注意首先將原問題轉化為方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內有解，進而轉化為基本不等式的問題求解．