Question

7．（1）求函數f（x）=$\frac{（x+5）（x+2）}{x+1}$（x＜-1）的最大值，并求相應的x的值．
（2）已知正數a，b滿足2a²+3b²=9，求a$\sqrt{1+b^2}$的最大值并求此時a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$f（x）=\frac{[（x+1）+4][（x+1）+1]}{（x+1）}=\frac{{{（x+1）}^2+5（x+1）+4}}{x+1}$，由x＜-1，-（x+1）＞0，由基本不等式的性質$-（x+1）+\frac{4}{-（x+1）}≥4$，即可求得函數f（x）的最大值，及x的值；
（2）由2a²+3b²=9，即平方和為定值，求積的最大值，可以根據條件配成平方和為定值的形式，再用基本為等式求最大值，要注意取等號的條件．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{[（x+1）+4][（x+1）+1]}{（x+1）}=\frac{{{（x+1）}^2+5（x+1）+4}}{x+1}$，
=$（x+1）+\frac{4}{x+1}+5$，
∵x＜-1，
∴x+1＜0，
∴-（x+1）＞0，
∴$-（x+1）+\frac{4}{-（x+1）}≥4$
∴$f（x）=（x+1）+\frac{4}{x+1}+5≤-4+5=1$，
當且僅當$-（x+1）=\frac{4}{-（x+1）}=＞x=-3$時，
f（x）取最大值1．…（6分）
（2）解：a，b都是正數，$a\sqrt{1+b^2}=\sqrt{a^2（1+b^2）}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}\sqrt{（2a^2）（3+3b^2）}$，
$≤\frac{1}{{\sqrt{6}}}•\frac{2a^2+3b^2+3}{2}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}•\frac{9+3}{2}=\sqrt{6}$，
當且僅當2a²=3+3b²，又2a²+3b²=9，得$a=\sqrt{3}，b=1$時，
$a\sqrt{1+b^2}$有最大值$\sqrt{6}$．…（12分）

點評 本題考查了基本不等式求最值，注意利用配湊法將平方和湊成定值，本題難度不大，屬于中檔題．